汤姆逊公式

此处为汤姆逊公式的详细证明方法，应用见衍射强度，此处仅供参考，不需要完全理解。

假设强度为 $I_{0}$ 的 X 射线的照射到质量为 $m$ 、电荷量为 $q$ 的带电粒子上，在距离电子 $r$ 处观测到的散射波的强度可以表示为: （公式1）

I_{P} = I_{0} \frac{e^{4}}{{(4 π ε_{0})}^{2} m^{2} c^{4} R^{2}} (\frac{1 + \cos^{2} 2 θ}{2})

假设入射波沿着 OX 方向运动，在 O 点与电子发生散射。选择 XZ 平面上的某点 P 作为观测点，散射波 OP 与入射波夹角为 2θ，OP 距离为 R。假设入射的 X 射线是非偏振光且电场强度为 E，则其在 YZ 平面上可以分解为两个平面偏振分量，电场强度分别为 $E_{Y}$ 和 $E_{Z}$ ，如图：

因此：

E^{2} = E_{Y}^{2} + E_{Z}^{2}

对于非偏振光，由于 E 在各个方向上的几率相等，

E_{Y}^{2} = E_{Z}^{2} = \frac{1}{2} E^{2}

由于电磁波的强度与其电场强度的平方成正比，所以

I_{Y} = I_{Z} = \frac{1}{2} I_{0}

代入公式1，

I_{Y P} = I_{Y} \frac{e^{4}}{{(4 π ε_{0})}^{2} m^{2} c^{4} R^{2}} \sin^{2} φ_{Y}

I_{Z P} = I_{Z} \frac{e^{4}}{{(4 π ε_{0})}^{2} m^{2} c^{4} R^{2}} \sin^{2} φ_{Z}

由图中，

φ_{Y} = \frac{π}{2}, φ_{Z} = \frac{π}{2} - 2 θ

又有，

I_{P} = I_{Y P} + I_{Z P}

因此得到汤姆逊公式，

I_{P} = I_{0} \frac{e^{4}}{{(4 π ε_{0})}^{2} m^{2} c^{4} R^{2}} (\frac{1 + \cos^{2} 2 θ}{2})